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Programme Lycée 2ndeCours MathématiquesEnsembles et relations d'ensemblesBien rédiger : Ensembles et relations d'ensemblesBien rédiger Ensembles et relations d'ensembles
Un ensemble est un regroupement d'objets du même type.
Les ensembles
$\mathbb R$, $\mathbb Z$ ou encore $\mathbb Q$ sont des ensembles.
$I=[1\ ;+\infty[$ est un ensemble de réel.
$S=\lbrace 1,\pi,\sqrt 2\rbrace$ est un ensemble de réels.
$S=\lbrace \overrightarrow{AB}\ ; \overrightarrow{DE}\ ;\overrightarrow{EA}\ ;\overrightarrow{FG}\rbrace$ est un ensemble de vecteurs.
Généralement, un ensemble ne contenant aucun élément est noté avec le symbole ensemble vide sans accolades : $S= \emptyset$.
Dans un intervalle, le symbole infini est toujours accolé à un crochet ouvert : $[a\ ;+\infty[$ ou $]-\infty \ ;a[$.
Appartenance à un ensemble
Le fait qu’un réel $a$ appartienne à un ensemble $S$ est noté : $a \in S$.
À l'inverse, un réel $b$ n'appartenant pas à un ensemble $S$ est noté : $b \notin S$.
Relations d’ensembles
Soient deux ensembles de réels $A$ et $B$, on a alors les définitions suivantes :
Notation |
Définition |
Schéma |
Exemple |
$A \supset B$ $B \subset A$ |
$A$ contient $B$ $B$ est inclus dans $A$ |
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$[3\ ;9] \supset \lbrace 5\ ; 7\rbrace$ $\mathbb N \subset \mathbb R$ |
$A\not \supset B$ $B\not \subset A$ |
$A$ ne contient pas $B$ $B$ n’est pas inclus dans $A$ |
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$\mathbb N \not \supset \mathbb Q$ $\lbrace0\ ;5\rbrace\not\subset ]-\infty\ ;4]$ |
$A \cap B$ |
Ensemble des éléments communs à $A$ et $B$ |
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$[0\ ;2[ \cap [1\ ; +\infty[=[1\ ; 2[$ $\mathbb N \cap \mathbb R = \mathbb N$ |
$A \cup B$ |
Ensemble des éléments appartenant à $A$ ou à $B$ |
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$[0\ ;2[\cup [1\ ;5[=[0\ ;5[$ $\mathbb Q \cup \mathbb Q^\prime = \mathbb R$ |
Note : $\mathbb Q^\prime$ est l’ensemble des nombres irrationnels.
Propriété
$A \subset B \Leftrightarrow A \cap B = A \Leftrightarrow A \cup B=B$